Cuerdas, armónicos y libertad: el poder de mezclar música y matemáticas

Vasca. Somos más de más de:: 6000

Hola profesor, ¿qué tal está?

Muy bien, gracias.

Tania: El Profesor Fanelli es investigador Ikerbasque adscrito al Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco pero también es doctor en piano. De hecho, la sintonía que nos acompaña al inicio de este programa, así como la que escucharán al cierre de cada EHUpodcast, son creaciones suyas.

A lo largo de nuestra conversación con el Profesor Fanelli, abordaremos temas de gran relevancia como la descripción de las vibraciones de una cuerda, los principios de la organización del sonido, las contribuciones de Pitágoras y el estudio del fenómeno de la dispersión. Y ahora sí…

1. Profesor Fanelli, ¿Cómo nació esta sintonía que compusiste para el podcast? ¿Qué buscabas transmitir con ella?

Egun on, Tania. La verdad es que es un gusto estar aquí. Cuando me propusisteis hacer esta sintonía, enseguida me vino un recuerdo muy claro de mi infancia. Me veía ahí, de niño, despertándome cada mañana con la radio de fondo, porque mi madre la ponía siempre. Y sonaba la sintonía de un programa, que era nada menos que el tema de Beverly Hills Cop —el famoso Axel F de Harold Faltermeyer—. Seguro que muchos lo recordáis —(aquí incluso podría tararearla un poco)—. Me fascinaba ese ritmo constante, hipnótico, de los que se te meten en la cabeza y te acompañan todo el día sin que te des cuenta.

El ritmo tiene algo mágico. Cuando escuchamos música, casi siempre es el ritmo el que marca cómo nos engancha, cómo conecta con ese pulso interno que todos llevamos dentro. Con esta sintonía he intentado crear un poquito de esa energía. Un pequeño empujón para arrancar el día, o el episodio, con esa sensación de “venga, vamos allá”, que es un poco el espíritu con el que nos hemos lanzado también a esta aventura del podcast.

Tania: ¡Cuánta razón llevas!

2. Tienes una formación que no es muy común: doctor en Matemáticas y también doctor en Piano. ¿Cómo se cruzaron esas dos trayectorias?

Mi historia con la música y las matemáticas se fue cruzando un poco por casualidad. Desde pequeño me gustaban los números, me entretenía con ellos. Pero al mismo tiempo, la música siempre me emocionaba. Hay canciones que, todavía hoy, si las escucho, me hacen revivir exactamente lo que sentí la primera vez que las oí.

Empecé a estudiar piano relativamente tarde, a los once años. Mi mejor amigo ya llevaba tiempo tocando, y claro, yo le veía y pensaba: “yo también quiero hacer eso”. Terminé los estudios de piano en Italia y después me fui a Rotterdam para hacer un doctorado. Y, casi por estrategia —porque me permitía retrasar el servicio militar—, me matriculé también en la universidad, en matemáticas, que era la carrera con menos exámenes.

is Vega —hablamos del año:: 2004

3. ¿Cómo ha influido tu formación musical en tu forma de hacer matemáticas, o viceversa?

La verdad es que mi formación musical ha influido profundamente en mi formación y en mi actual actividad matemática. Tocar un instrumento, preparar un concierto —sea cual sea el nivel del repertorio— exige un esfuerzo intenso en el cuidado de los detalles. Es difícil explicar cuántas horas son necesarias para que una simple frase musical “suene” exactamente como uno desea. Esto requiere una identificación profunda con el instrumento y una gran capacidad de adaptarse a diferentes instrumentos.

En la investigación matemática, y aún más en la enseñanza de las matemáticas, se necesita un grado de comprensión igualmente profundo. A veces creemos haber entendido la demostración de un teorema, pero la realidad nos enfrenta cuando intentamos explicárselo a alguien más y descubrimos nuestras propias lagunas. Entonces es cuando se hace necesario revisar cada paso decenas de veces, hasta que se vuelva algo completamente natural, casi automático, como respirar.

Los latinos decían repetita iuvant (repetir ayuda), y no se equivocaban. En la sociedad contemporánea, esta práctica de la repetición tiende a asociarse negativamente con el perfeccionismo, pero no es así. La diferencia es evidente: basta observar cómo baila salsa un niño cubano o de Cali, Colombia —que lo ha hecho desde que nació— frente a un adulto europeo que la aprende ya de mayor, tras unas pocas clases.

Estas dos actividades, la música y las matemáticas, comparten este mismo principio: para alcanzar una formación profunda en ambas, es indispensable una gran dedicación al detalle.

Tania: Lo que comentas del europeo que aprende de mayor a bailar salsa me pasa a mí con el taichí, que también se basa en la repetición y que yo he comenzado a practicar de mayor…Ahora, en estas disciplinas supongo que es fundamental no rendirse nunca.

4. ¿Crees que la música puede ayudar a explicar conceptos matemáticos? ¿O incluso a despertar el gusto por la ciencia?

¡Sin duda! Y esto aplica a cualquier nivel de la formación matemática.

Ya en la educación primaria, uno de los primeros grandes desafíos en la enseñanza de las matemáticas son las fracciones. La escala musical —la que llamamos, con un término griego, escala diatónica— fue concebida nada menos que por Pitágoras. Para comprender su construcción, basta entender qué es una fracción y cómo se suman y multiplican fracciones. Plantear la pregunta “¿por qué las notas son siete y no seis u ocho?” como punto de partida para introducir las fracciones ha demostrado ser un estímulo sorprendente para despertar el interés de los niños.

A niveles posteriores, esta misma pregunta puede llevarnos a una exploración aún más profunda, introduciendo el concepto de temperamento musical, es decir, los distintos métodos para afinar los instrumentos. Desde Pitágoras se puede recorrer un camino natural hacia la Edad Media, pasando del temperamento pitagórico al temperamento igual moderno, sin necesidad de recurrir a conceptos matemáticos más complejos que los de fracción y número real. Todo este proceso puede enriquecerse aún más mediante experiencias sonoras: ¿te imaginas un profesor o una profesora de matemáticas que explique estos conceptos cantando? Yo sí, y la idea me fascina.

Finalmente, en el bachillerato, con la introducción al cálculo diferencial e integral, se da un salto cualitativo enorme. En ese momento ya es posible abordar el problema matemático de la descripción de las vibraciones de una cuerda, un tema cuya historia arranca con Galileo Galilei y continúa con Euler, Bernoulli, D’Alembert y Fourier.

5. Siempre se ha hablado mucho de esta conexión entre las matemáticas y la música, pero… ¿dónde están los números cuando escuchamos música?

Es, en el fondo, lo que acabo de explicar. La música es, esencialmente, la organización del sonido. Un sonido se produce por la vibración de un cuerpo (una cuerda, una membrana, una columna de aire, etc.), y la forma de provocar esa vibración varía: golpeando la cuerda con un martillo, como en el piano; frotándola con un arco, como en el violín; punteándola con los dedos, como en la guitarra; o impulsando aire, como en la trompeta. Estas vibraciones mueven el aire y generan ondas mecánicas que viajan hasta nuestro oído, el cual, por cierto, es en sí mismo un instrumento musical extraordinario. La anatomía del oído amplifica esas ondas y las convierte en señales que nuestro cerebro interpreta como sonidos.

Todo este proceso puede describirse con herramientas matemáticas. El sonido inicial se caracteriza por los parámetros de la onda: frecuencia, amplitud e intensidad. Ya Pitágoras descubrió que la frecuencia de vibración (que determina la altura del sonido) es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda: cuanto más larga es la cuerda, más grave será el sonido (a igualdad de tensión e intensidad). Este principio es fácil de observar cuando tocamos una guitarra o un violín: al desplazar el dedo a lo largo del mástil, estamos variando la longitud de la cuerda vibrante.

Desde los tiempos de Pitágoras, harían falta más de dos mil años para comprender que, en realidad, un sonido no está compuesto por una única frecuencia, sino por la superposición de múltiples frecuencias llamadas armónicos. Estos armónicos tienen una propiedad fascinante: cada uno tiene una frecuencia que es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental.

Esta sorprendente relación entre música y números llevó a Leopold Kronecker a afirmar: “Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre.”

Cuando se modifican las intensidades relativas de los armónicos, cambia el timbre del sonido, es decir, la cualidad que nos permite distinguir, por ejemplo, un piano de un violín aun cuando ambos toquen la misma nota. Y no creo que haga falta ir mucho más lejos para convencerte.

Tania: O sea que la modificación de las intensidades relativas de los armónicos tiene consecuencias en nuestra percepción del sonido, ¿sí? Se podría decir que hasta incluso nuestro oído es un instrumento de medición matemático. Y si te paras a pensarlo es impresionante…la evolución lo finísima que es.

6. Entre tus aportaciones más relevantes en el campo de las matemáticas se encuentra el estudio cuantitativo del fenómeno de la dispersión. ¿En qué consiste exactamente?

La dispersión es un fenómeno íntimamente relacionado con las ondas, incluidas las ondas sonoras. Hasta ahora hemos hablado de “ondas”, pero no te he preguntado: ¿qué es para ti una onda? Es una pregunta que suelo hacer a los niños de primaria, y como era de esperar, sus respuestas siempre son acertadas y nacen de su maravillosa curiosidad natural.

Tania: ¿Para mí? Una onda es una curva o un vaivén, o mira, una montaña rusa!

Hay ondas electromagnéticas, ondas de sonido, ondas en el agua (como las olas del mar), ondas sísmicas… Cada tipo de onda tiene características propias y requiere modelos matemáticos distintos para describirse. Sin embargo, todas ellas comparten un fenómeno común: la dispersión (al menos cuando se propagan en nuestro espacio tridimensional).

La dispersión es un concepto sencillo de comprender, como sugiere su propio nombre. Si en un momento dado un fenómeno está formado por la superposición de ondas de distintas frecuencias (como sucede, por ejemplo, con los armónicos de los que hablábamos antes), a medida que pasa el tiempo cada una de estas ondas viajará a una velocidad diferente, que depende precisamente de su frecuencia. Como consecuencia, las ondas tienden a dispersarse en el espacio.

Tania: ¿Como cuando echas una piedra a una balsa y las ondas se abren, se alejan y desaparecen, sería algo así?

La dispersión se manifiesta en muchos fenómenos acústicos. Un ejemplo es la reverberación en un espacio vacío, donde las ondas sonoras rebotan en las superficies y se dispersan, creando ese eco prolongado que percibimos. Otro caso es la atenuación del sonido en un bosque denso: las ramas y hojas dispersan las ondas sonoras, reduciendo su intensidad conforme avanzan. Incluso en conciertos al aire libre, la dispersión juega un papel importante: obstáculos como edificios o árboles dispersan el sonido y pueden afectar la calidad de la experiencia auditiva.

Cuantificar la dispersión significa, precisamente, estudiar estos fenómenos y ser capaces de prever cómo el entorno influirá en el sonido. A esta disciplina la llamamos acústica. Sin la ciencia acústica, no tendríamos hoy los magníficos auditorios que existen en todo el mundo.

a la inventó Pitagoras hace:: 2500

griego ἀκουστικός (akoustikós), que significa relativo a la audición o que sirve para oír, fue acuñada por un científico francés del siglo XVII, poco conocido: Joseph Sauveur. Entre otras cosas, fue también el descubridor del fenómeno de los sonidos armónicos. ¿Lo sabías?

Tania: Nooop!  Te invitaremos otra vez para que nos hables del señor Sauveur. (Sovur)

7. En una de tus conferencias hablaste de la ecuación de ondas como una historia musical y matemática. ¿Cómo podrías explicarla para quienes nunca han oído hablar de ella?

La ecuación de ondas fue formulada por el matemático francés Jean le Rond d’Alembert a mediados del siglo XVIII. El problema, sin embargo, es mucho más antiguo: se trata de describir, mediante un modelo matemático, cómo vibra una cuerda tensa. Aunque ya en la antigüedad se había reflexionado sobre este fenómeno, la falta de herramientas matemáticas adecuadas mantuvo estancado el estudio durante siglos.

Fue Galileo Galilei quien, en el siglo XVII, retomó el problema en su obra Dialoghi sopra i due massimi sistemi del mondo. Entre otros hallazgos, Galileo comprendió que la frecuencia de vibración (término que, de hecho, acuñó él mismo) no es proporcional a la densidad de la cuerda, sino a su raíz cuadrada. Sin embargo, carecía aún de los instrumentos matemáticos necesarios para formular lo que dos siglos más tarde se convertiría en la ecuación de ondas: el cálculo diferencial e integral.

Cuando explico cómo se llegó al modelo de d’Alembert, suelo mencionar la áspera disputa que sostuvo con Euler y Bernoulli sobre esta cuestión, un debate tan intenso que llegó a ocupar varias páginas de la recién nacida Encyclopédie, en cuya redacción científica colaboraba el propio d’Alembert junto a Denis Diderot.

A pesar de que el modelo de d’Alembert era matemáticamente correcto, no lograba dar cuenta de un hecho observable: ¿cómo es posible que, al pulsar la cuerda de una guitarra —formando inicialmente un ángulo pronunciado—, lo que vemos luego durante la vibración son suaves ondas sinusoidales, sin rastro de aquella "esquina" inicial? En particular, su modelo no conseguía explicar la aparición de los sonidos armónicos, que ya en aquel entonces se aceptaban unánimemente como un fenómeno natural.

Para entender plenamente este comportamiento fue necesario esperar al inicio del siglo XIX y al nacimiento del análisis de Fourier, que permitió descomponer cualquier forma de vibración compleja en una suma (teóricamente infinita) de ondas sinusoidales: los armónicos.

8. ¿Qué tiene esta ecuación, la ecuación de ondas, que ha llamado la atención de tantos grandes científicos a lo largo de la historia?

Durante miles de años, esta ecuación representó un desafío formidable para los matemáticos. Resolverlo mediante un modelo fue el mayor orgullo de d’Alembert (dicho sea de paso —entre tú y yo—, un científico que no se distinguía precisamente por su simpatía). Aunque en realidad no llegó a comprender del todo el fenómeno físico subyacente, d’Alembert no dudó en reivindicar la paternidad de su modelo con total convicción.

Pero el verdadero triunfo de la ecuación de ondas llegaría un siglo más tarde, cuando el físico escocés James Clerk Maxwell descubrió que las ecuaciones que describen la evolución del campo electromagnético también pueden reducirse, en parte, a la misma ecuación de ondas. Fue un descubrimiento revolucionario: lo que inicialmente nació para describir la vibración de una cuerda servía también para explicar la propagación de la luz y de las ondas electromagnéticas.

Tania: ¿Como las ondas en las que viajan nuestras voces cuando un satélite las transmite y llegan a nuestros dispositivos digitales?

Más adelante, en los años 20 del siglo pasado, dos físicos teóricos, el sueco Oskar Klein y el alemán Walter Gordon, demostraron que la ecuación de ondas podía aplicarse incluso al mundo de las partículas elementales. Así nació la llamada ecuación de Klein-Gordon, que describe el comportamiento de una partícula relativista sin spin —una propiedad intrínseca de las partículas, como la masa, que les confiere un momento angular, como si “giraran”, aunque físicamente no lo hagan—. Incluso en la relatividad general de Einstein, la ecuación que describe la curvatura del espacio-tiempo —la famosa ecuación de Einstein— puede, bajo ciertas condiciones, reducirse a una ecuación de ondas.

En otras palabras, la ecuación de ondas es un modelo extraordinariamente versátil y transversal, capaz de describir fenómenos muy distintos entre sí. Comparte esta ubicuidad con su “hermana menor”, la ecuación de Schrödinger, que, aunque también es dispersiva, describe un tipo muy diferente de ondas: las ondas de probabilidad que rigen la evolución de los sistemas cuánticos.

A diferencia de la ecuación clásica de ondas, la ecuación de Schrödinger se aplica al mundo atómico y subatómico, donde las nociones de partícula y onda dejan de ser conceptos separados y se entrelazan. En esencia, describe la evolución temporal de la función de onda, que nos da la probabilidad de encontrar una partícula en un estado o posición determinados. ¡Alucinante!

9. Y aparece el análisis de Fourier, que suena muy complejo… ¿cómo explicarías qué es sin usar fórmulas?

Imagina que cualquier sonido es como un gran acorde tocado por una orquesta invisible: aunque oímos una sola melodía, en realidad hay muchas notas (frecuencias) sonando al mismo tiempo. El análisis de Fourier es como tener un oído mágico capaz de escuchar por separado cada una de esas notas que componen el sonido.

La transformada de Fourier es, por así decirlo, la herramienta matemática que hace este trabajo: toma una señal (puede ser música, voz, imagen, incluso datos de un terremoto) y nos dice exactamente qué frecuencias están presentes, cuánto dura cada una, y qué intensidad tiene. Es como descomponer cualquier vibración en sus ingredientes básicos. Es como tener —por usar una metáfora gastronómica— un superpoder culinario: te sirven el plato más sofisticado del mundo y, en el acto, eres capaz de identificar todos los ingredientes, las cantidades exactas, el tiempo de cocción, la temperatura del horno, e incluso si el chef estaba de buen humor ese día.

¿A que te gustaría tener algo así? Pues eso, en el mundo de las señales, es lo que hace la transformada de Fourier.

Gracias a esta idea, hoy podemos tener la música digital, los MP3, los vídeos en MP4, las comunicaciones por internet o incluso las imágenes por resonancia magnética en medicina. Por ejemplo, cuando comprimes una canción en MP3, lo que se hace es aplicar la transformada de Fourier para analizar qué sonidos son más importantes (los que más percibe el oído humano), y qué partes se pueden eliminar sin que lo notemos demasiado. Así se reduce el tamaño del archivo sin perder mucha calidad.

En resumen: la transformada de Fourier es el oído matemático que permite que el mundo digital suene, vea y funcione como lo conocemos hoy.

ue Jean-Baptiste Fourier, en:: 1822

Esto es lo maravilloso de las matemáticas: tú te sientas tranquilamente a resolver un problema —en este caso, el calor— y, sin darte cuenta, terminas inventando algo que sirve para resolver docenas de problemas que ni te habías planteado (y que, francamente, ni te interesaban). Es como intentar arreglar una gotera en casa y, sin querer, descubrir la receta de la pizza perfecta.

ezar a liderar este año. En:: 2026

Tania: ¡Eres un artistazo! Cuánto talento en una sola persona!

10. ¿Tienes algún mensaje final, Luca?

Quiero lanzar un mensaje que me importa de verdad, especialmente para los jóvenes: escuchad música de verdad, y si podéis, estudiadla. Y estudiad matemáticas. Sí, matemáticas. No les tengáis miedo. Abrazadlas. Porque si aprendéis a juntar el conocimiento musical, el pensamiento matemático y el uso crítico de la tecnología, tendréis una llave muy poderosa: la llave de vuestra propia libertad. Y además, seréis mucho más difíciles de manipular por cualquier algoritmo de moda.

teniendo razón después de:: 2500

Tania: Es una maravilla haber compartido contigo este rato tan fantástico, muchísimas gracias profesor Luca Fanelli ha sido un verdadero placer.

Esperamos que este primer episodio de EHUpodcast os haya resultado interesante. Antes de despedirnos nos gustaría dar las gracias a la dirección de Difusión Social de la Investigación de la UPV/EHU y en especial a su directora Nerea Jauregizar, así como al Grupo consolidado de investigación Bitartez y al sistema público de enseñanza. Podéis reguirnos en Spotify, Applepodcast, Youtube o Amazon. En el siguiente episodio tendremos a Jon Mattin Matxain, químico teórico y decano de la Facultad de Química de nuestra universidad, la entrevista será en euskera y os esperamos. Eskerrik asko eta laster arte.

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ana partekatu nahiko genuke.:: 6000

Kaixo, irakasle. Zer moduz zaude?

Fanelli irakaslea Ikerbasque ikertzailea da, Euskal Herriko Unibertsitateko Matematika Sailari atxikia, baina pianoan doktorea ere bada. Izan ere, programa honen hasieran bidelagun dugun sintonia eta EHUpodcast bakoitzaren itxieran entzungo duzuena beren sorkuntzak dira.

Fanelli irakaslearekin izango dugun elkarrizketan, garrantzi handiko gaiak jorratuko ditugu, hala nola soka baten bibrazioen deskribapena, soinuaren antolaketaren printzipioak, Pitagorasen ekarpenak eta dispertsioaren fenomenoaren azterketa. Eta orain bai...

1. Fanelli irakaslea, nola sortu zen podcasterako konposatu zenuen sintonia hori? Zer transmititu nahi zenuen harekin?

Luca: Egun on, Tania. Egia esan, atsegina da hemen egotea. Sintonia hori egitea proposatu zenidatenean, haurtzaroko oroitzapen argi bat etorri zitzaidan berehala. Han ikusten nuen neure burua, txikitan, goizero sakoneko irratiarekin esnatzen, amak beti jartzen baitzuen. Eta programa baten sintonia entzuten zen, Beverly Hills Cop-en kantua zena — Harold Faltermeyer -en Axel F ospetsua —. Ziur askok gogoratuko duzuela — . Liluratu egiten ninduen erritmo etengabe, hipnotiko horrek, buruan sartzen zaizkizun eta konturatu gabe egun osoan laguntzen dizuten horietakoak.

Erritmoak badu zerbait magikoa. Musika entzuten dugunean, ia beti erritmoak markatzen du nola katigatzen gaituen, nola konektatzen gaituen denok barruan daramagun barne-pultsu horrekin. Sintonia horrekin energia hori pixka bat sortzen saiatu naiz. Bultzada txiki bat egunari ekiteko, edo pasartea, "zatoz!" sentsazio horrekin, espiritu horrekin ekin baitiogu podcastaren abentura honi ere.

2. Oso ohikoa ez den prestakuntza duzu: Matematikan doktorea eta Pianoan doktorea. Nola gurutzatu ziren bi ibilbide horiek?

Luca: Nire historia musikarekin eta matematikarekin pixka bat gurutzatu zen kasualitatez. Txikitatik gustatzen zitzaizkidan zenbakiak, haiekin entretenitzen nintzen. Baina aldi berean, musikak beti hunkitzen ninduen. Kantu batzuek, gaur egun ere, entzuten baditut, entzun nituen lehen aldian sentitu nuena berpizten didate.

Berandu samar hasi nintzen pianoa ikasten, hamaika urterekin. Nire lagun onenak aspalditik jotzen zuen, eta noski, nik ikusi eta pentsatzen nuen: "nik ere hori egin nahi dut". Italian amaitu nituen piano ikasketak eta gero Rotterdamera joan nintzen doktoretza egitera. Eta, ia estrategiagatik — soldadutza atzeratzeko aukera ematen zidalako —, unibertsitatean ere matrikulatu nintzen, matematikan, azterketa gutxien zituen karrera baitzen.

, ezagutu nuen Luis Vega —:: 2004

Tania:

Badakizu Bilbotarrok nahi dugun tokian jaiotzen garela, ni ere ez nintzen Bilbon jaio baina asko maite dut.

3. Nola eragin du zure musika-prestakuntzak matematika egiteko moduan, edo alderantziz?

Luca: Egia esan, nire musika-prestakuntzak eragin handia izan du nire prestakuntzan eta nire egungo jarduera matematikoan. Instrumentu bat jotzeak, kontzertu bat prestatzeak — errepertorioaren maila edozein dela ere — ahalegin handia eskatzen du xehetasunen zainketan. Zaila da azaltzea zenbat ordu behar diren musika-esaldi soil batek "soinua" izan dezan norberak nahi duen bezala. Horrek eskatzen du tresnarekin identifikazio sakona izatea eta hainbat tresnatara egokitzeko gaitasun handia izatea.

Ikerketa matematikoan, eta are gehiago matematikaren irakaskuntzan, ulermen maila sakona behar da. Batzuetan teorema baten frogapena ulertu dugula uste dugu, baina errealitateak aurre egiten digu beste norbaiti azaltzen saiatzen garenean eta geure hutsuneak aurkitzen ditugunean. Orduan, urrats bakoitza dozenaka aldiz berrikusi behar da, arnasa hartzea bezalako zerbait erabat naturala, ia automatikoa bihurtu arte.

Latindarrek repetita iuvant esaten zuten, eta ez zuten huts egiten. Gaur egungo gizartean, errepikapenaren praktika hori perfekzionismoarekin lotzen da modu negatiboan, baina ez da horrela. Aldea nabarmena da: nahikoa da ikustea nola dantzatzen duen Kubako edo Caliko (Kolonbia) haur batek — jaio zenetik egin du — Europako heldu baten aurrean, handitan ikasten baitu, klase gutxi batzuen ondoren.

Bi jarduera horiek, musikak eta matematikak, printzipio bera dute: bietan prestakuntza sakona lortzeko, ezinbestekoa da xehetasunei dedikazio handia eskaintzea.

Tania: Handitan saltsa dantzatzen ikasten duen europarraz esaten duzuna gertatzen zait niri taichiarekin, errepikapenean ere oinarritzen dena eta handitan praktikatzen hasi naizena... Orain, diziplina hauetan uste dut funtsezkoa dela inoiz amore ez ematea.

4. Musikak kontzeptu matematikoak azaltzen lagun dezakeela uste duzu? Edo zientziarekiko zaletasuna piztea?

Dudarik gabe! Eta hori prestakuntza matematikoaren edozein mailatan aplikatzen da.

Lehen hezkuntzan, matematika irakasteko lehenengo erronka nagusietako bat zatikiak dira. Eskala musikala — grekoz esaten dioguna, eskala diatonikoa — Pitagorasek sortu zuen. Haren eraikuntza ulertzeko, nahikoa da ulertzea zer den zatikia eta nola batzen eta biderkatzen diren zatikiak. Zatikiak sartzeko abiapuntu gisa "zergatik dira notak zazpi eta ez sei edo zortzi?" galdera planteatzea estimulu harrigarria izan da haurren interesa pizteko.

Ondorengo mailetan, galdera horrek berak are sakonago esploratzera eraman gaitzake, izaera musikalaren kontzeptua sartuz, hau da, instrumentuak afinatzeko metodoak. Pitagorasetik Erdi Arorako bide naturala egin daiteke, izaera pitagorikotik izaera modernora pasatuz, zatikia eta zenbaki erreala baino kontzeptu matematiko konplexuagoetara jo beharrik gabe. Prozesu hori guztia are gehiago aberastu daiteke soinu-esperientzien bidez: imajinatzen duzu matematikako irakasle batek kontzeptu horiek kantatuz azalduko dituela? Nik bai eta ideiak liluratu egiten nau.

Azkenik, batxilergoan, kalkulu diferentzial eta integralerako sarrerarekin, sekulako jauzi kualitatiboa ematen da. Une horretan, posible da soka baten bibrazioen deskribapenaren problema matematikoari heltzea. Gai horren historia Galileo Galileirekin abiatzen da, eta Euler, Bernoulli, D 'Alembert eta Fourierrekin jarraitzen du.

5. Matematikaren eta musikaren arteko lotura horri buruz asko hitz egin da beti, baina... non daude zenbakiak musika entzuten dugunean?

Luca: Hori da, funtsean, azaldu berri dudana. Musika, funtsean, soinuaren antolaketa da. Soinu bat gorputz baten bibrazioaren ondorioz sortzen da (soka bat, mintz bat, aire-zutabe bat, etab.), eta bibrazio hori eragiteko modua aldatu egiten da: soka mailu batekin joz, pianoan bezala; arku batekin igurtziz, biolinean bezala; hatzekin punteatuz, gitarran bezala; edo airea bultzatuz, tronpetan bezala. Bibrazio horiek airea mugitzen dute eta uhin mekanikoak sortzen dituzte, gure entzumeneraino bidaiatzen dutenak. Belarriaren anatomiak uhin horiek anplifikatu eta gure garunak soinu gisa interpretatzen dituen seinale bihurtzen ditu.

Prozesu hori guztia tresna matematikoekin deskriba daiteke. Hasierako soinuaren ezaugarriak uhinaren parametroak dira: maiztasuna, anplitudea eta intentsitatea. Pitagorasek jada deskubritu zuen bibrazio-maiztasuna (soinuaren altuera zehazten duena) alderantziz proportzionala dela sokaren luzerarekiko: soka zenbat eta luzeagoa izan, orduan eta grabeagoa izango da soinua (tentsio eta intentsitate berdinetan). Printzipio hori erraz ikusten da gitarra edo biolin bat jotzen dugunean: hatza mastan zehar mugitzean, soka dardarkariaren luzera aldatzen ari gara.

Pitagorasen garaitik, bi mila urte baino gehiago beharko lirateke ulertzeko soinu bat ez dagoela frekuentzia bakar batez osatua, baizik eta harmoniko deituriko frekuentzia anitzen gainjarpenaz. Harmoniko hauek ezaugarri liluragarri bat dute: bakoitzak frekuentzia bat du, oinarrizko maiztasunaren multiplo oso bat dena.

Musikaren eta zenbakien arteko harreman harrigarri horren ondorioz, Leopold Kroneckerrek honako hau esan zuen: "Jainkoak zenbaki osoak sortu zituen; gainerako guztia gizakiaren lana da".

Harmonikoen intentsitate erlatiboak aldatzen direnean, soinuaren tinbrea aldatzen da, hau da, piano bat biolin batetik bereizteko aukera ematen digun nolakotasuna, nahiz eta biek nota bera jo. Eta ez dut uste urrunago joan behar denik zu konbentzitzeko.

Tania: Hau da, harmonikoen intentsitate erlatiboen aldaketak ondorioak ditu gure soinuaren pertzepzioan, bai? Esan liteke gure belarria ere neurketa matematikorako tresna bat dela. Ikaragarria da eboluzioa, zein fina den.

6. Matematikaren arloan egin dituzun ekarpen garrantzitsuenen artean sakabanaketaren fenomenoaren azterketa kuantitatiboa dago. Zertan datza zehazki?

Luca: Dispertsioa oso lotuta dago uhinekin, soinu-uhinak barne. Orain arte "uhinez" hitz egin dugu, baina ez dizut galdetu: zer da zuretzat uhin bat? Lehen hezkuntzako haurrei egin ohi diedan galdera da, eta, espero bezala, haien erantzunak beti dira egokiak, eta haien jakin-min natural zoragarritik sortzen dira.

Tania: Niretzat? Uhin bat da kurba bat edo kulunka bat, edo begira, errusiar mendi bat!

Uhin elektromagnetikoak daude, soinu-uhinak, uhinak uretan (itsasoko olatuak bezala), uhin sismikoak... Uhin mota bakoitzak ezaugarri propioak ditu, eta eredu matematiko desberdinak behar dira deskribatzeko. Hala ere, guztiek fenomeno komun bat partekatzen dute: dispertsioa (gure hiru dimentsioko espazioan hedatzen direnean, behintzat).

Dispertsioa ulertzen erraza da, izenak berak iradokitzen duen bezala. Une jakin batean, fenomeno bat maiztasun desberdineko uhinen gainjartzeak osatzen badu (adibidez, lehen aipatu ditugun harmonikoekin gertatzen den bezala), denborak aurrera egin ahala, uhin horietako bakoitzak abiadura desberdinean bidaiatuko du, eta abiadura hori, hain zuzen ere, maiztasunaren araberakoa izango da. Ondorioz, uhinek espazioan sakabanatzeko joera dute.

Tania: Baltsa bati harri bat bota eta uhinak ireki, urrundu eta desagertzen direnean bezala, horrelako zerbait litzateke?

Luca: Dispertsioa fenomeno akustiko askotan agertzen da. Adibidez, erreberberazioa espazio huts batean, non soinu-uhinek gainazaletan errebotatu eta sakabanatu egiten diren, hautematen dugun oihartzun luze hori sortuz. Beste kasu bat baso trinko batean soinua indargabetzea da: adarrek eta hostoek soinu-uhinak sakabanatzen dituzte, eta intentsitatea murrizten dute aurrera egin ahala. Aire zabaleko kontzertuetan ere, sakabanaketak zeregin garrantzitsua du: eraikin edo zuhaitzen gisako oztopoek soinua sakabanatzen dute eta entzumen-esperientziaren kalitateari eragin diezaiokete.

Sakabanaketa kuantifikatzeak esan nahi du, hain zuzen ere, fenomeno horiek aztertzea eta inguruak soinuan nola eragingo duen aurreikusteko gai izatea. Diziplina honi akustika esaten diogu. Zientzia akustikorik gabe, gaur egun ez genituzke izango mundu osoan dauden auditorio bikainak.

itagorasek asmatu zuen duela:: 2500

entzumenari dagokiona edo entzuteko balio duena, berriz, XVII. mendeko zientzialari frantziar batek (Joseph Sauveur) sortu zuen. Zientzialari hori ez da oso ezaguna. Besteak beste, soinu harmonikoen fenomenoaren aurkitzailea ere izan zen. Bazenekien?

Tania: Nooop! Berriro gonbidatuko zaitugu Sauveur jaunaz hitz egin diezaguzun.

7. Zure hitzaldietako batean uhinen ekuazioaz hitz egin zenuen, istorio musikal eta matematiko gisa. Nola azal zenezake inoiz haren berri izan ez dutenentzat?

Uhinen ekuazioa Jean le Rond d 'Alembert matematikari frantsesak formulatu zuen XVIII. mendearen erdialdean. Arazoa, ordea, askoz zaharragoa da: eredu matematiko baten bidez, soka tenkatu bat nola ikusten duen deskribatzea da kontua. Antzinatean fenomeno horri buruz hausnartu bazen ere, tresna matematiko egokirik ezak azterketarik geldirik mantendu zuen mendeetan zehar.

Galileo Galilei izan zen, XVII. mendean, Dialoghi sopra i due massimi sistemi del mondo obran arazoari berriro heldu ziona. Beste aurkikuntza batzuen artean, Galileok ulertu zuen bibrazio-maiztasuna (berez berak sortutako terminoa) ez dela sokaren dentsitatearekiko proportzionala, haren erro karratuarekiko baizik. Hala ere, oraindik ez zuen beharrezko tresna matematikorik bi mende geroago uhinen ekuazio bihurtuko zena formulatzeko: kalkulu diferentziala eta integrala.

D 'Alemberten eredura nola iritsi zen azaltzen dudanean, Euler eta Bernoullirekin gai horri buruz izan zuen eztabaida latza aipatu ohi dut, hain eztabaida bizia, non jaio berria zen Encyclopédieren zenbait orrialde hartu baitzituen, erredakzio zientifikoan d' Alembertek berak Denis Diderotekin batera kolaboratzen zuelarik.

D 'Alembert-en eredua matematikoki zuzena zen arren, ez zuen lortzen beha zitekeen gertaera baten berri ematea: nola liteke, gitarra baten soka sakatzean — hasieran angelu nabarmena osatuz —, gero bibrazioan ikusten duguna uhin sinusoidal leunak izatea, hasierako "izkina" haren arrastorik gabe? Bereziki, bere ereduak ezin zuen soinu harmonikoen agerpena azaldu, ordurako aho batez fenomeno natural gisa onartzen baitziren.

Portaera hori erabat ulertzeko, beharrezkoa izan zen XIX. mendearen hasiera eta Fourierren analisiaren sorrera arte itxarotea, zeinari esker edozein bibrazio konplexu uhin sinusoidalen batuketa (teorikoki infinitua) batean deskonposatu baitzen: harmonikoak.

8. Zer du ekuazio honek, uhinen ekuazioak, historian zehar hainbeste zientzialari handiren arreta erakarri duenak?

Milaka urtetan zehar, ekuazio hau erronka izugarria izan zen matematikarientzat. Eredu baten bidez ebaztea izan zen d 'Alemberten harrotasunik handiena (bide batez esanda — zure eta nire artean —, bere begikotasunagatik bereizten ez zen zientzialaria zela d’Alembert). Egia esan, azpiko fenomeno fisikoa erabat ulertu ez bazuen ere, d 'Alembertek ez zuen zalantzarik izan bere ereduaren aitatasuna erabateko konbentzimenduz aldarrikatzeko.

Baina uhinen ekuazioaren benetako garaipena mende bat beranduago iritsiko zen, James Clerk Maxwell fisikari eskoziarrak eremu elektromagnetikoaren eboluzioa deskribatzen duten ekuazioak ere, neurri batean, uhinen ekuazio berera murriztu daitezkeela aurkitu zuenean. Aurkikuntza iraultzailea izan zen: hasieran soka baten bibrazioa deskribatzeko jaio zenak argiaren eta uhin elektromagnetikoen hedapena azaltzeko ere balio zuen.

Tania: Nola gure ahotsak bidaiatzen dituzten uhinak satelite batek transmititzen dituenean eta gure gailu digitaletara iristen direnean?

Luca: Bai, horrela. Joan den mendeko 20ko hamarkadan, bi fisikari teorikok, Oskar Klein suediarrak eta Walter Gordon alemaniarrak, uhinen ekuazioa oinarrizko partikulen mundura ere aplika zitekeela frogatu zuten. Horrela sortu zen Klein-Gordonen ekuazioa deiturikoa, spin gabeko partikula erlatibista baten portaera deskribatzen duena — partikulen propietate intrintsekoa, masa bezala, momentu angeluar bat ematen diena, "biratuko" balira bezala, fisikoki egiten ez badute ere —. Einsteinen erlatibitate orokorrean ere, espazio-denboraren kurbadura deskribatzen duen ekuazioa — Einsteinen ekuazio ospetsua —, baldintza batzuetan, uhin-ekuazio batera murriztu daiteke.

Beste era batera esanda, uhinen ekuazioa oso eredu aldakorra eta zeharkakoa da, oso fenomeno desberdinak deskribatzeko gai dena. Bere "ahizpa gaztearekin" partekatzen du nonahikotasun hori, Schrödingerren ekuazioarekin. Ekuazio hori ere sakabanatzailea bada ere, uhin mota oso desberdin bat deskribatzen du: sistema kuantikoen eboluzioa gidatzen duten probabilitate-uhinak.

Uhinen ekuazio klasikoa ez bezala, Schrödingerren ekuazioa mundu atomiko eta subatomikoari aplikatzen zaio, non partikula eta uhinaren nozioak kontzeptu bereizi izateari uzten dioten eta elkarrekin lotzen diren. Funtsean, uhin-funtzioaren denbora-bilakaera deskribatzen du, partikula bat egoera edo posizio jakin batean aurkitzeko probabilitatea ematen diguna. Ikaragarria!

9. Eta Fourier-en analisia agertzen da, oso konplexua dirudiena... nola azalduko zenuke zer den formularik erabili gabe?

Luca: Imajinatu edozein soinu orkestra ikusezin batek jotako akorde handi bat bezalakoa dela: melodia bakar bat entzuten badugu ere, benetan nota (frekuentzia) asko daude aldi berean jotzen. Fourierren analisia soinua osatzen duten nota horietako bakoitza bereiz entzuteko gai den belarri magikoa izatea bezalakoa da.

Fourierren transformatua, nolabait esateko, lan hau egiten duen tresna matematikoa da: seinale bat hartzen du (musika, ahotsa, irudia, baita lurrikara baten datuak ere), eta zehazki esaten digu zer maiztasun dauden, bakoitzak zenbat irauten duen eta zer intentsitate duen. Oinarrizko osagaietan edozein bibrazio deskonposatzea bezala da. Gastronomia-metafora bat erabiltzeagatik sukaldaritzako superbotere bat izatea bezala da: munduko platerik sofistikatuena zerbitzatzen dizute, eta, unean bertan, gai zara osagai guztiak, kopuru zehatzak, egosteko denbora, labearen tenperatura eta, are gehiago, sukaldaria umore onean bazegoen ere, identifikatzeko.

Horrelako zerbait izatea gustatuko litzaizuke? Ba hori da, seinaleen munduan, Fourierren transformatuak egiten duena.

Ideia horri esker, gaur egun musika digitala, MP3ak, MP4 bideoak, Internet bidezko komunikazioak edo medikuntzako erresonantzia magnetiko bidezko irudiak izan ditzakegu. Adibidez, abesti bat MP3n konprimitzen duzunean, Fourierren transformatua aplikatzen da zer soinu diren garrantzitsuenak (giza entzumena gehien hautematen dutenak) eta zer zati ken daitezkeen gehiegi nabaritu gabe aztertzeko. Horrela, fitxategiaren tamaina murriztu egiten da, kalitate handirik galdu gabe.

Laburbilduz: Fourierren transformatua mundu digitalak gaur egun ezagutzen dugun bezala entzun, ikusi eta funtziona dezan ahalbidetzen duen belarri matematikoa da.

da Jean-Baptiste Fourierrek,:: 1822

Hauxe da matematikaren alderdi zoragarria: zu lasai sentitzen zara problema bat konpontzeko — kasu honetan, beroa — eta, konturatu gabe, azkenean asmatu egiten duzu planteatu ez zenituen (eta benetan interesatzen ez zitzaizkizun) dozenaka problema konpontzeko balio duen zerbait. Etxean itogin bat konpontzen saiatzea bezala da eta, nahi gabe, pizza perfektuaren errezeta aurkitzea bezala.

bainaiz aurten buru izaten.:: 2026

Tania: Artista bat zara! Nolako talentua pertsona bakar batengan!

10. Amaierako mezuren bat duzu, Luca?

Luca: Benetan axola zaidan mezu bat zabaldu nahi dut, bereziki gazteentzat: entzun benetako musika, eta ahal baduzue, aztertu. Eta matematika ikasi. Bai, matematika. Ez beldurrik izan. Besarkatu. Izan ere, musikaren ezagutza, pentsamendu matematikoa eta teknologiaren erabilera kritikoa bateratzen ikasten baduzue, oso giltza indartsua izango duzue: zuen askatasunaren giltza. Gainera, modako edozein algoritmogandik, askoz ere zailagoak izango zarete manipulatzeko.

endeko greziar jakintsu bat,:: 2500

Tania: Zoragarria da zurekin tarte zoragarri hau partekatzea, eskerrik asko Luca Fanelli irakaslea plazer handia izan da.

Tania: EHUpodcasten lehen atal hau interesgarria suertatu zaizuela espero dugu. Agur esan aurretik, eskerrak eman nahi dizkiegu UPV/EHUko Ikerketaren Gizarte Hedapenerako Zuzendaritzari eta, bereziki, Nerea Jauregizar zuzendariari, Bitartez ikerketa-talde sendotuari eta irakaskuntza-sistema publikoari. Spotify, Applepodcast, Youtube edo Amazonen egin ditzakezue. Hurrengo atalean Jon Mattin Matxain kimikari teoriko eta gure unibertsitateko Kimika Fakultateko dekanoa izango dugu, elkarrizketa euskaraz izango da eta zuen zain gaude. Eskerrik asko eta laster arte.

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Kaixo and welcome! We're thrilled to kick off this new phase of the podcast from the University of the Basque Country, Euskal Herriko Unibertsitatea. From this platform, we'd like to share the research work we do at the public university of the Basque Autonomous Community.

More than 6,000 teaching and research staff (PDI, in Spanish) work in areas as diverse as communication, medicine, law, physics, and mathematics. External agencies, both national and international, evaluate our work, and we believe it's vital for everyone to have access to our research, especially in this era of fake news and anti-scientific discourse.

To get this project off the ground, we have Iñaki Alonso as sound technician, Javier Martínez on the writing and documenting, and Leire Moure as advisor. I'm Tania Arriaga, and I'm handling the coordination and narration for this space. The four of us are PDI from the Faculty of Social Sciences and Communication.

Today, in this new phase, we have the pleasure of interviewing Luca Fanelli.

Tania: Hello Professor, how are you?

Luca: Very well, thank you.

Tania: Professor Fanelli is an Ikerbasque researcher affiliated with the Department of Mathematics at the University of the Basque Country, but he also holds a doctorate in Piano. In fact, the theme music that accompanies us at the start of this program, as well as the one you'll hear at the close of each EHUpodcast, are his creations.

Throughout our conversation with Professor Fanelli, we'll address highly relevant topics such as the description of string vibrations, the principles of sound organization, the contributions of Pythagoras, and the study of the phenomenon of dispersion. And now, without further ado...

1. Professor Fanelli, how did you come up with this theme music you composed for the podcast? What were you trying to convey with it?

Good morning, Tania. It's truly a pleasure to be here. When you suggested I create this theme music, a very clear memory from my childhood immediately came to mind. I pictured myself as a child, waking up every morning with the radio playing in the background because my mother always had it on. And the theme song of a program would play, which was none other than the theme from Beverly Hills Cop—Harold Faltermeyer's famous "Axel F." I'm sure many of you remember it—(here I could even hum it a bit). I was fascinated by that constant, hypnotic rhythm, one of those that gets stuck in your head and stays with you all day without you even realizing it.

Rhythm has something magical about it. When we listen to music, it's almost always the rhythm that dictates how it hooks us, how it connects with that internal pulse we all carry within. With this theme music, I've tried to create a little bit of that energy. A small push to start the day, or the episode, with that "come on, let's go" feeling, which is a bit of the spirit with which we've also embarked on this podcast adventure. You're so right! (hahaha)

2. You have a very uncommon background: a doctorate in Mathematics and also a doctorate in Piano. How did those two paths intersect?

My journey with music and mathematics crossed paths a bit by chance. From a young age, I liked numbers; they entertained me. But at the same time, music always moved me. There are songs that, even today, if I listen to them, make me relive exactly what I felt the first time I heard them.

I started studying piano relatively late, at eleven years old. My best friend had already been playing for a while, and of course, I'd see him and think: "I want to do that too." I finished my piano studies in Italy and then went to Rotterdam to do a doctorate. And, almost strategically —because it allowed me to delay military service— I also enrolled in university to study mathematics, which was the degree with the fewest exams.

Vega —we're talking about:: 2004

Tania: Right! There is a saying according to which natives from Bilbao are born where ever they choose. That´s our case, Luca!

3. How has your musical training influenced your approach to mathematics, or vice versa?

My musical training has profoundly influenced both my education and my current work in mathematics. Playing an instrument, preparing for a concert —regardless of the repertoire's level— demands an intense effort in paying attention to details. It's hard to explain how many hours are needed for a simple musical phrase to "sound" exactly as one desires. This requires a deep connection with the instrument and a great ability to adapt to different instruments.

In mathematical research, and even more so in teaching mathematics, an equally deep level of understanding is required. Sometimes we believe we've understood the proof of a theorem, but reality hits us when we try to explain it to someone else and discover our own gaps. That's when it becomes necessary to review each step dozens of times until it becomes completely natural, almost automatic, like breathing.

The Latins used to say repetita iuvant (repetition helps), and they weren't wrong. In contemporary society, this practice of repetition tends to be negatively associated with perfectionism, but that's not the case. The difference is clear: one only needs to observe how a Cuban child or a child from Cali, Colombia —who has been dancing salsa since birth— dances compared to a European adult who learns it later in life, after just a few classes.

These two activities, music and mathematics, share the same principle: to achieve deep understanding in both, a great dedication to detail is essential.

Tania: What you say about the European learning to dance salsa later in life reminds me of myself with Tai Chi, which is also based on repetition and which I started practicing when I was older... Now, in these disciplines, I suppose it's crucial never to give up.

4. Do you think music can help explain mathematical concepts? Or even spark an interest in science?

Without a doubt! And this applies to any level of mathematical education.

Already in primary education, one of the first big challenges in teaching mathematics is fractions. The musical scale—what we call, with a Greek term, the diatonic scale—was conceived by none other than Pythagoras. To understand its construction, one only needs to grasp what a fraction is and how fractions are added and multiplied. Posing the question "why are there seven notes and not six or eight?" as a starting point to introduce fractions has proven to be a surprisingly effective stimulus for sparking children's interest.

At later levels, this same question can lead to an even deeper exploration, introducing the concept of musical temperament—that is, the different methods for tuning instruments. From Pythagoras, one can naturally journey to the Middle Ages, moving from the Pythagorean temperament to the modern equal temperament, without needing to resort to mathematical concepts more complex than those of fractions and real numbers. This entire process can be further enriched through sound experiences: can you imagine a math teacher explaining these concepts by singing? I can, and the idea fascinates me.

Finally, in high school, with the introduction to differential and integral calculus, there's an enormous qualitative leap. At that point, it's already possible to tackle the mathematical problem of describing string vibrations, a topic whose history begins with Galileo Galilei and continues with Euler, Bernoulli, D'Alembert, and Fourier.

5. We've always talked a lot about this connection between mathematics and music, but... where are the numbers when we listen to music?

At its core, it's what I've just explained. Music is, essentially, the organization of sound. A sound is produced by the vibration of a body (a string, a membrane, an air column, etc.), and the way to cause that vibration varies: striking the string with a hammer, as in a piano; rubbing it with a bow, as in a violin; plucking it with fingers, as in a guitar; or pushing air through it, as in a trumpet. These vibrations move the air and generate mechanical waves that travel to our ear, which, by the way, is an extraordinary musical instrument in itself. The anatomy of the ear amplifies these waves and converts them into signals that our brain interprets as sounds.

This entire process can be described with mathematical tools. The initial sound is characterized by the wave's parameters: frequency, amplitude, and intensity. Pythagoras already discovered that the vibration frequency (which determines the pitch of the sound) is inversely proportional to the length of the string: the longer the string, the lower the sound (assuming equal tension and intensity). This principle is easy to observe when playing a guitar or a violin: by moving your finger along the neck, you are varying the length of the vibrating string.

From Pythagoras's time, it would take more than two thousand years to understand that, in reality, a sound is not composed of a single frequency, but by the superposition of multiple frequencies called harmonics. These harmonics have a fascinating property: each one has a frequency that is an integer multiple of the fundamental frequency. This surprising relationship between music and numbers led Leopold Kronecker to state: "God created the integers; all else is the work of man."

When the relative intensities of the harmonics are modified, the timbre of the sound changes—that is, the quality that allows us to distinguish, for example, a piano from a violin even when both play the same note. And I don't think I need to go much further to convince you.

Tania: So, the modification of the relative intensities of the harmonics has consequences for our perception of sound, right? One could even say that our ear is a mathematical measuring instrument. And if you think about it, it's impressive... how incredibly refined evolution is.

6. Among your most relevant contributions in the field of mathematics is the quantitative study of the phenomenon of dispersion. What exactly does it consist of?

Dispersion is a phenomenon intimately related to waves, including sound waves. We've talked about "waves" so far, but I haven't asked you: what is a wave to you? It's a question I usually ask elementary school children, and as expected, their answers are always accurate and born from their wonderful natural curiosity.

Tania: For me? A wave is a curve or a sway, or look, a roller coaster!

There are electromagnetic waves, sound waves, water waves (like ocean waves), seismic waves... Each type of wave has its own characteristics and requires different mathematical models to describe it. However, all of them share a common phenomenon: dispersion (at least when they propagate in our three-dimensional space).

Dispersion is a simple concept to understand, as its name suggests. If, at a given moment, a phenomenon is formed by the superposition of waves of different frequencies (as happens, for example, with the harmonics we discussed earlier), as time passes, each of these waves will travel at a different speed, which depends precisely on its frequency. As a consequence, the waves tend to disperse in space.

Tania: Like when you throw a stone into a pond and the ripples spread out, move away, and disappear, would it be something like that?

Dispersion manifests itself in many acoustic phenomena. One example is reverberation in an empty space, where sound waves bounce off surfaces and disperse, creating that prolonged echo we perceive. Another case is the attenuation of sound in a dense forest: branches and leaves scatter sound waves, reducing their intensity as they advance. Even in open-air concerts, dispersion plays an important role: obstacles like buildings or trees scatter the sound and can affect the quality of the listening experience.

Quantifying dispersion means, precisely, studying these phenomena and being able to predict how the environment will influence the sound. We call this discipline acoustics. Without acoustic science, we wouldn't have the magnificent auditoriums that exist around the world today.

s was invented by Pythagoras:: 2500

Tania: Nope! Haha. We'll invite you back so you can tell us about Mr. Sauveur.

7. In one of your lectures, you talked about the wave equation as a musical and mathematical story. How would you explain it to someone who has never heard of it?

The wave equation was formulated by the French mathematician Jean le Rond d’Alembert in the mid-18th century. The problem, however, is much older: it's about describing, using a mathematical model, how a tense string vibrates. Although this phenomenon had been pondered in antiquity, the lack of adequate mathematical tools kept its study stagnant for centuries.

It was Galileo Galilei who, in the 17th century, revisited the problem in his work Dialoghi sopra i due massimi sistemi del mondo. Among other findings, Galileo understood that the frequency of vibration (a term he actually coined himself) is not proportional to the string's density, but to its square root. However, he still lacked the necessary mathematical instruments to formulate what two centuries later would become the wave equation: differential and integral calculus.

When I explain how d’Alembert's model came to be, I usually mention the bitter dispute he had with Euler and Bernoulli over this issue—a debate so intense that it even occupied several pages of the newly born Encyclopédie, in whose scientific writing d’Alembert himself collaborated alongside Denis Diderot.

Despite d’Alembert's model being mathematically correct, it failed to account for an observable fact: how is it possible that, when you pluck a guitar string—initially forming a sharp angle—what we then see during the vibration are smooth sinusoidal waves, with no trace of that initial "corner"? In particular, his model couldn't explain the appearance of harmonic sounds, which were already unanimously accepted as a natural phenomenon at that time.

To fully understand this behavior, it was necessary to wait until the beginning of the 19th century and the birth of Fourier analysis, which allowed any complex vibration shape to be decomposed into a (theoretically infinite) sum of sinusoidal waves: the harmonics.

8. What is it about this equation, the wave equation, that has captivated so many great scientists throughout history?

For thousands of years, this equation represented a formidable challenge for mathematicians. Solving it through a model was d’Alembert's greatest pride (incidentally —just between you and me— he wasn't exactly known for his pleasant demeanor). Although he didn't fully grasp the underlying physical phenomenon, d’Alembert didn't hesitate to claim authorship of his model with complete conviction.

But the true triumph of the wave equation would arrive a century later, when the Scottish physicist James Clerk Maxwell discovered that the equations describing the evolution of the electromagnetic field could also be partially reduced to the same wave equation. It was a revolutionary discovery: what initially emerged to describe the vibration of a string also served to explain the propagation of light and electromagnetic waves.

Later, in the:: 1920

In other words, the wave equation is an extraordinarily versatile and transversal model, capable of describing very different phenomena. It shares this ubiquity with its "younger sister," the Schrödinger equation, which, although also dispersive, describes a very different type of waves: the probability waves that govern the evolution of quantum systems.

Unlike the classical wave equation, the Schrödinger equation applies to the atomic and subatomic world, where the notions of particle and wave cease to be separate concepts and become intertwined. In essence, it describes the temporal evolution of the wave function, which gives us the probability of finding a particle in a given state or position. Mind-blowing!

9. And then there's Fourier analysis, which sounds very complex... how would you explain what it is without using formulas?

Imagine any sound is like a grand chord played by an invisible orchestra: even though we hear a single melody, there are actually many notes (frequencies) playing at the same time. Fourier analysis is like having a magical ear capable of listening separately to each of those notes that make up the sound.

The Fourier transform is, so to speak, the mathematical tool that does this work: it takes a signal (it can be music, voice, an image, even earthquake data) and tells us exactly which frequencies are present, how long each one lasts, and what its intensity is. It's like breaking down any vibration into its basic ingredients. It's like having —to use a culinary metaphor— a culinary superpower: you're served the most sophisticated dish in the world and, instantly, you're able to identify all the ingredients, the exact quantities, the cooking time, the oven temperature, and even if the chef was in a good mood that day.

Wouldn't you like to have something like that? Well, in the world of signals, that's what the Fourier transform does.

Thanks to this idea, today we can have digital music, MP3s, MP4 videos, internet communications, or even magnetic resonance imaging in medicine. For example, when you compress a song into an MP3, what's done is applying the Fourier transform to analyze which sounds are most important (those most perceived by the human ear), and which parts can be eliminated without us noticing too much. This reduces the file size without losing much quality.

In short: the Fourier transform is the mathematical ear that allows the digital world to sound, look, and function as we know it today.

at Jean-Baptiste Fourier, in:: 1822

This is the wonderful thing about mathematics: you sit down calmly to solve a problem —in this case, heat— and, without realizing it, you end up inventing something that serves to solve dozens of problems you hadn't even considered (and that, frankly, didn't even interest you). It's like trying to fix a leak at home and, by accident, discovering the recipe for the perfect pizza.

inning to lead this year. In:: 2026

Tania: You're an amazing artist! So much talent in one person!

10. Do you have any final message, Luca?

I want to share a message that genuinely matters to me, especially for young people: listen to real music, and if you can, study it. And study mathematics. Yes, mathematics. Don't be afraid of it. Embrace it. Because if you learn to combine musical knowledge, mathematical thinking, and the critical use of technology, you'll hold a very powerful key: the key to your own freedom. And what's more, you'll be much harder for any trendy algorithm to manipulate.

BC, who is still right after:: 2500

Tania: It's been wonderful sharing this fantastic time with you. Thank you very much, Professor Luca Fanelli; it has been a true pleasure.

We hope this first episode of EHUpodcast has been interesting for you. Before we say goodbye, we'd like to thank the Directorate for Social Dissemination of Research at UPV/EHU, especially its director Nerea Jauregizar, as well as the consolidated research group Bitartez and the public education system. You can follow us on Spotify, Apple Podcasts, YouTube, or Amazon. In the next episode, we'll have Jon Mattin Matxain, a theoretical chemist and dean of our university's Faculty of Chemistry. The interview will be in Basque, and we look forward to having you. Eskerrik asko eta laster arte.